Оглавление
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Вычислить определитель 4-го порядка.
Решение:
Определитель 4-го порядка находится по формуле:
 ,
где
aij
– элемент матрицы;
Мij
– минора элемента aij
. Минора элемента aij
матрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij
Решить систему матричным способом.
Решение:
1. Введем обозначения:
Тогда в матричной форме система имеет вид  , т.е. 
А-1
-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е. 
2. Найдем определитель матрицы по формуле:
Так как , то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1
существует и единственная.
3. Найдем обратную матрицу по формуле:
 , где
 - присоеденненая матрица, элементы которой  равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы  , и затем транспонированная.
a. найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:
Получается матрица
b. транспонируем матрицу (т.е. матрица AT
, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)
c. обратная матрица равна:
4. Находим значение переменных х1
,х2
,х3
:
Х1
=-27, Х2
=36, Х3
=-9
Решить систему методом Крамера
Решение:
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)
1. Данную систему представим в виде матрицы:
2. Найдем определители:
 ,
( , т.е. можно применить метод Крамера)
 ;
 .
3. Найдем значение x, y:
 , 
 , 
Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:
Решение:
Данную систему представим в виде матрицы:
Шаг 1.
В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а11
=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а11
. Разрешающие переменную х1
следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
Шаг 2.
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22
=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11
берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
 ;  ; 
 ;  ; 
 ;  
Шаг 3.
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33
=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11
=1 и а22
=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
 ; 
 ; 
 ; 
Шаг 4.
Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице:
Предполагаем, что х4
– это любое число С, тогда
Х1
=3,8-3,4С; Х2
=23,6-7,8С; Х3
=-33+С
Даны векторы.
Найти:
Решение:
Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В.
Из данных уравнений выделим координаты векторов:
 , где координатами являются (x,y,z)
т.е. координатами вектора  являются (18,2,1), а координатами вектора  являются (1,-2,17).
1. Скалярное произведение векторов находится по формуле:
2. Длина  вектора  определяется по формуле:
|
