| Полуточка: модель скорости
Каратаев Евгений Анатольевич
Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.
Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.
Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой:
| 
|
(1)
|
Считается, что точка  принадлежит миру с временем  :
| 
|
(2)
|
В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.
Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:
| 
|
(3)
|
Здесь величина  определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом  есть разность времён этих двух миров:
| 
|
(4)
|
Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:
| 
|
(5)
|
Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина  зависит от величины  , и с течением величина испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин и :
| 
|
(6)
|
Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:
|
|
(7)
|
и
| 
|
(8)
|
Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором - скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:
Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:
| 
|
(12)
|
| 
|
(13)
|
где через  обозначен оператор  с вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:
| 
|
(14)
|
Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.
А именно:
| 
|
(15)
|
| 
|
(16)
|
Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.
В силу того, что величина и её приращение являются скалярами, имеем:
| 
|
(17)
|
И в случае когда мало, имеем:
| 
|
(18)
|
| 
|
(19)
|
Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:
| 
|
| 
|
(20)
|
Оставив члены первого порядка малости по :
| 
|
(21)
|
Используя определение полуточки
получим:
| 
|
(22)
|
Положив точку функцией величины и сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности , получим:
|
|
(23)
|
Это выражение и является определением скорости точки , если она движется во времени , испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:
|
|
(24)
|
Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:
| 
|
(25)
|
То есть абсолютное приращение точки выполняется несмотря на произвольность величины  так, что точка остается сама себе скалярно-векторно сопряжённой.
Отметим также, что в силу свойства точки  верно равенство:
| 
|
(26)
|
Далее...
Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины и дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.
Для понимания дальнейшего вывода представим величины и в виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:
| 
|
| 
|
(27)
|
Здесь индексом  обозначены главные части, а индексом  - дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:
Сгруппировав главные и дуальные части, получим:
|
|
(28)
|
Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин  ,  ,  и  , оценим характер вклада в скорость точки отдельных величин и . А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.
Случай 1.
Зададим точку как дуальный вектор с единичной главной частью:
| 
|
(29)
|
а величину как дуальный вектор с нулевой главной частью:
| 
|
(30)
|
Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:
| 
|
(31)
|
В силу того, что выбрано условие  , имеем:
| 
|
(32)
|
Таким образом, в приведённых выше условиях величина  является линейной скоростью приращения дуальной части . В силу того, что в состав величины входит как полярная, так и дуальная части, то есть:
| 
|
(33)
|
то в силу свойств функций  и  , определённых как
| 
|
(34)
|
| 
|
(35)
|
И имеющих свойства сопрягаться:
| 
|
(36)
|
|
|
(37)
|
Имеем равенство для первого случая:
| 
|
(38)
|
Или: величина  является линейной скоростью изменения вектора .
Случай 2. Выберем величины и такими, что выполняются следующие условия:
| 
|
(39)
|
Используя выражение (29) с этими условиями, получим:
| 
|
(40)
|
В силу выбора  и свойства (38) имеем:
| 
|
(41)
|
И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:
| 
|
(42)
|
Переведя величины и в векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:
| 
|
(43)
|
где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов и  .
Или: величина  является угловой скоростью вращения вектора .
Таким образом, величины  и имеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.
Целью настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний и здесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.
К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины  и  , а также отдельное исследование главной части точки . В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора , существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.
|
